Пределы и непрерывность

Понятие пределов

Предел описывает поведение функции, когда её аргумент приближается к определённому значению. Формально мы записываем:

Это выражение читается как "предел $f(x)$ при $x$, стремящемся к $a$, равен $L$." Это означает, что когда $x$ становится произвольно близким к $a$ (но не обязательно равным $a$), значения функции $f(x)$ становятся произвольно близкими к $L$.

Понятие предела является фундаментальным для математического анализа, поскольку позволяет нам анализировать поведение функций в точках, где они могут быть не определены или где их поведение значительно изменяется.

Основные свойства пределов

• Предел может существовать, даже если функция не определена в данной точке.
• Предел суммы равен сумме пределов: $\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x)$
• Предел произведения равен произведению пределов: $\lim_{x \to a}[f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x)$
• Предел частного равен частному пределов (при условии, что предел знаменателя не равен нулю): $\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$

односторонние пределы

Иногда функция приближается к разным значениям в зависимости от того, с какой стороны мы приближаемся:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (приближение к $a$ со значений меньше $a$)
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to a^+} f(x)$ (приближение к $a$ со значений больше $a$)