Болжол менен канча?

«Бир жип» сериясы, 2-макала

Мугалимдер жана репетиторлор менен иштеп жүрүп, биз көп учурда бир эле суроону угабыз: ар бир окуучу түшүнгөндөй кылып кантип түшүндүрсө болот? Бизде даяр рецепт жок, бирок бөлүшкүбүз келген байкоолор жана ыкмалар бар. Мектеп математикасынан алынган чакан мисалдардын негизинде тажрыйбабыз менен үзгүлтүксүз бөлүшүп, ал башталгыч мектептен чоң турмушка чейин кайда алып барарын көрсөтүүгө аракет кылабыз.

Сатып алуучу 49 сомдон 38 пачка дептер алат. Сатуучу калькуляторго терип: «18 620 сом», — дейт. Кезектегилердин бирөөсү муну дароо туура эмес экенин сезет, ал эми башкасы капчыгына кол салат. Калькулятор жаңылган жок: ага эмне берилсе, ошону так көбөйттү. Жөн гана сатуучу байкабай ашыкча нөл басып, 380ди 49га көбөйтүп алды.

Оозеки эсептөө — эскирген нерсе деп көп айтышат: телефон ар дайым колдо жана жаңылбайт. Бирок телефон ага кандай суроо киргизилсе, так ошого гана жооп берет. Бул туура сурообу жана жооп чындыкка окшошпу — муну баскычтарды басканга чейин эле болжол менен канча чыгарын билген адам гана айта алат. Бүгүнкү сөзүбүз ушул «болжол менен» деген жөнүндө.

Башталгыч мектеп: боолорду калтырып, таякчаларды таштоо

Мурунку чыгарылышта мамычалап кемитүүнү талдап жатып, биз таякча боолорун колдондук: ондук — бул бир боо, жүздүк — боолордун боосу. Болжолдоо так ушул жерден башталат. Отуз сегиз — бул дээрлик төрт боо. Кырк тогуз — дээрлик беш. Санды ондуктарга чейин тегеректөө — чоң боолорду калтырып, өзүнчө таякчаларды санабай коюу дегенди билдирет.

Төрт ондукту беш ондукка көбөйтсөк — жыйырма жүздүк, башкача айтканда эки миң. Көңүл буруңуз: ондукту ондукка көбөйтсө жүздүк чыгарын түшүнгөн экинчи класстын окуучусу бул жоопту бир секундда, эч кандай таблицасыз табат.

Бул жерде биз көбөйтүүчүлөрдүн ордун алмаштырып, топтоштурдук: 4 × 5ти өзүнчө, 10 × 10ду өзүнчө эсептедик. Буга орун алмаштыруу жана топтоштуруу закондору уруксат берет. Маселедеги сандар эсептөөгө ыңгайлуу тартипте эмес, автор кандай жазса, ошол тартипте келет. Алардын ордун алмаштырууга болорун билген адам ыңгайлуу тартипте эсептейт.

Биз эки санды тең жогору карай тегеректедик, демек, чыныгы жооп эки миңден бир аз азыраак. Эгер экөөнү тең төмөн карай тегеректесек — үч ондукту төрт ондукка — миң эки жүз чыгат, жана чыныгы жооп андан сөзсүз көп болот. Эми эң негизгисин билебиз: сатып алуу бир миң эки жүз сом менен эки миң сомдун ортосунда турат, ошону менен экиге жакыныраак турат. Он сегиз миң эч кандай шартта болушу мүмкүн эмес.

Төмөндөн жана жогорудан баалоо бул — боолор менен болгон ошол эле иш, жана аны көбөйтүүнү окутуп жаткан убакта эле үйрөтсө болот. «Болжол менен мынча болот» деп айтууга көнгөн бала кийин өз жообун мугалимсиз эле өзү текшерет.

Бешинчи жана алтынчы класс: үтүрдү кайда коюу керек

Бешинчи класстын окуучусуна мисал беришет: 0,38 × 4,9. Ал бүтүн сандардай мамычалап көбөйтүп, 1862 алат. Эми үтүрдү коюу керек, ошондо белгилүү эреже ишке кирет: эки көбөйтүүчүдө үтүрдөн кийин канча цифра бар экенин санап чык — экөө жана бирөө, баары биригип үчөө — жана оң жакка ошончону санап үтүрдү кой. 1,862 чыгат. Демек эреже туура. Бирок бала бир цифрага жаңылса эле, дептерде 18,62 же 0,1862 пайда болот. Канча чыгышы керек экенин билбесең, бул жооптордун ар бири туура жооп сыяктуу эле ишенимдүү көрүнөт.

Ал эми муну билүү кыйын эмес. 0,38 — дээрлик 0,4, ал эми 4,9 — дээрлик 5. Ондон төрттү бешке көбөйтсөк — эки бүтүн. Демек, жооп экинин тегерегинде жана үч варианттын ичинен 1,862 гана туура келет. Эрежени эстегенге чейин эле үтүр өз ордуна туруп калды.

Жетинчи–тогузунчу класс: канча разряд

Жетинчи–сегизинчи класста сандын стандарттык түрү пайда болот: 1862 саны 1,862 · 10³ деп жазылат. Чындыгында бул болжолдоонун эң чынчыл жазуусу: ондун даражасы сандагы разряддардын санын, башкача айтканда, сандын тартибин көрсөтөт. Биздин «эки миңге жакын» деп сатып алганыбыз — так ушул 2 · 10³ болот.

Окуучу түшүнүшү керек болгон маанилүү нерсе: көптөгөн суроолор үчүн тартип калган бардык цифралардан да көбүрөөк мааниге ээ. Муну өзүңүздө текшериңиз. Миллион секунд — бул канча? Миллион менен миллиард окшош угулат: экөө тең «көп», экөөндө тең нөлдөр бар. Бирок миллион секунд — он бир суткадан бир аз ашык. Ал эми миллиард секунд — дээрлик отуз эки жыл. Үч ашыкча разряд — жана «кийинки жумада» деген «жарым өмүргө» айланат.

Тартипти сезген адам жаңылыктарда миллион менен миллиардды чаташтырбайт. Бул үчүн өзүнчө сабак кереги жок: чоң же кичине сандар менен ар бир маселеде «бул жерде канча разряд бар?» деген суроо угулуп турса жетиштүү.

Болжолдоо жана оңдоо

Эми эң кызыктуусу. Дептерлерге кайтып келели: 49 сомдон 38 пачка. Эки санды тең тегеректеп, «эки миңге жакын» деп болжолдодук. Ал эми бирөөнү гана тегеректесек кандай болот? Кайсынысын — өзүбүз чечебиз: көбөйтүүчүлөрдүн ордун алмаштыргандан көбөйтүндү өзгөрбөйт (бул орун алмаштыруу закону), ошондуктан ыңгайлуусун тандайбыз. 49 — бул бири жок 50. Ал эми 50 сомдон отуз сегиз пачка — 1900. Бирок ар бир пачка бир сомго арзан, демек, биз 38 сом ашык төлөдүк. Аларды кайтаралы: 1900 − 38 = 1862. Бул эми болжолдоо эмес, оозеки эсептен алынган так жооп.

Бул кадамдын артында бөлүштүрүү закону турат: 38 × (50 − 1) = 38 × 50 − 38 × 1. Экинчи класста аны тактага жазып түшүндүрүшөт, балдар эмне үчүн керек экенин түшүнбөй туруп, чын дилден жаттап алышат. Бул жерде эмне үчүн керек экени көрүнүп турат: ал оор көбөйтүүнү жеңил көбөйтүүгө жана оңдоого, бөлүүгө уруксат берет.

Бул кадам кантип түзүлгөнүн караңыз. Биринчи кадам — санды тегерек санга, кийинки разрядга чейин жеткирүү: 49дун ордуна 50 алуу. Ушул жерде токтосок, болжолдоо чыгат. Экинчи кадам — оңдоо: кошкон нерсебизди кайтаруу. Эки кадамды тең жасасак — так жооп алабыз. Болжолдоо менен оозеки эсептөө — эки башка жөндөм эмес, бир эле жөндөм, болгону аягына чейин жеткирилген же жеткирилбеген.

Кыска видеолордо көрсөткөндү жакшы көргөн ыкмалардын бүтүндөй тобу ушул эле кадамга таянат:

• 9га көбөйтүүнүн ордуна — 10го көбөйтүп, санды өзүн кемитүү дегенди билдирет. 47 × 9 = 470 − 47 = 423. Тогуз — бул бири жок он, бул жерде бөлүштүрүү закону ашыкчасын өзүнчө алып салууга уруксат берет.
• 5ке көбөйтүүнүн ордуна — 10го көбөйтүп, тең экиге бөлүү дегенди билдирет. 64 × 5 = 640 : 2 = 320. Беш — ондун жарымы, ал эми топтоштуруу закону адегенде 10го көбөйтүп, анан 2ге бөлүүгө уруксат берет.

Ар бир жолу биз бир эле нерсени жасайбыз: тегерек санга, башкача айтканда, көбөйтүү цифраларды жылдырууга келип калган кийинки разрядга өткөзүп, анан оңдойбуз. Мурунку чыгарылыштагы «запас менен» кемитүү да так ушундай түзүлгөн, болгону ал жерде кошуунун топтоштуруу закону иштейт: 17ни кемитүү — 20ны кемитип, 3тү кошкон ыкмасы менен бирдей.

Бала бул закондорду башталгыч мектепте түшүндүрмөсү бар эрежелер катары кезиктирет, ал эми жетинчи класста — кайрадан, алгебрада: кашааларды ачуу ошол эле бөлүштүрүү законуна таянат. Эгер закондор ал оозеки эсептегендин куралы болсо, алгебра анын көптөн бери жасай билген нерсесинин жазуусу болуп чыгат. Ошондой эле бардыгынын ордун алмаштырууга болбой турганын түшүнүү маанилүү: жетиден үчтү кемитүү үчтөн жетини кемиткен менен бирдей эмес, салыштырсак, жашоодо адегенде байпак, анан гана бут кийим кийилет. Орун алмаштыруу жана топтоштуруу закондору — кошуунун жана көбөйтүүнүн өзгөчө касиети, ал эми разряддык жазуу бул касиетти куралга айлантат.

Фокус катары көрсөтүлгөн ыкма бир айдан кийин унутулат. Аягына чейин түшүнүлгөн ыкманы бала өзү ойлоп таба баштайт — бул разряд түшүнүлгөндүгүнүн так белгиси.

Улуу класстар жана жашоо: пайызга өсүүчү пайыздар

Маселе: аманат жылына 10 % өсөт. 25 жылда ал канча эсе өсөт? Эң көп берилүүчү жооп — «250 %», башкача айтканда үч жарым эсе: 10 % 25 жылга көбөйтүшкөн. Бирок бул туура эмес. Ар жылы 10 % баштапкы суммага эмес, буга чейин өскөн суммага кошулат.

Муну калькуляторсуз эсептеп көрөлү. 10 % кошуу — ондон бир бөлүгүн кошуу дегенди билдирет, ал эми сандын ондон бир бөлүгү — бул ошол эле сан, бир разряд оңго жылдырылган. Бир — 0,1 кошобуз, 1,1 алабыз. 1,1дин ондон бир бөлүгүн, башкача айтканда 0,11ди кошобуз — 1,21 алабыз. 1,21дин ондон бир бөлүгү — 0,121, ошол эле сан, бир разряд оңго жылдырылган. Кошобуз: 1,21 + 0,121 = 1,331, же тегеректеп алганда 1,33. Ар бир кадамда ушундай: санды бир разряд оңго жылдырып, өзүнө кошобуз. Андан ары 1,33, анан 1,46, 1,61, 1,77, 1,95. Жети кадамдан кийин сумма дээрлик эки эсе өстү. Демек, он төрт жылда ал дээрлик төрт эсе, жыйырма бир жылда — жети эседен ашык өсөт. Калган төрт жыл дагы дээрлик жарымын кошуп он бирдин тегерегинде чыгат. Бир миң болчу — үч жарым миң эмес, дээрлик он бир миң болду. Айырма пайыздарда эмес, разрядда: суммада ашыкча цифра жаралды.

Эми ошол эле арифметика, бирок башка тараптан. Жылдык 24 % менен карыз: ар жылы карыз дээрлик төрттөн бирге өсөт. Бирге дээрлик төрттөн бирди кошолу — 1,24; андан дагы дээрлик төрттөн бир — болжол менен 1,54; дагы бир жолу — болжол менен 1,91. Үч жылда карыз дээрлик эки эсеге өстү. Ушинтип болжолдогонду билген адам мунун баарын келишимге кол койгонго чейин эле көрөт. Билбеген адамга муну баарын убакыт гана көрсөтөт.

Эртең сабакта

Айтылгандардын баары бир жөнөкөй адатка келип такалат да, муну каалаган класста — экинчиден он биринчиге чейин киргизсе болот. Окуучу эсептей баштаганга чейин, андан жоопту болжол менен айтып берүүсүн сураңыз. Табышмак кылып таап эмес, болжолдоп: ыңгайлуу разрядга чейин тегеректеп, «эки миңге жакын болот» же «экиден бир аз азыраак болот» деп айтсын. Андан кийин так эсептесин — кагазда, оозеки эсеп менен же калькулятордо. Анан экөөнү салыштырсын.

Бул үчүнчү кадам — салыштыруу — эң маанилүүсү болот. Эгер так жооп менен болжолдоо бири-биринен алыс болсо, алардын биринде ката бар, жана окуучу аны мугалимдин жардамысыз өзү издеши керек. Эгер алар жакын болсо, ал окуу китебинин аягындагы эч бир текшерүү бере албаган нерсени алат: эмне кылып жатканын түшүнөм деген ишенимди.

Бул үчүн жаңы окуу китеби кереги жок: «болжол менен канча?» деген суроо сабакта «канча болот?» деген суроо сыяктуу эле көнүмүш угулса жетиштүү.

Жип эмнеге таянат

• 2–3-класс. Тегеректөө — керектүү разрядды калтырып, кичүүлөрүн таштоо дегенди билдирет.
• 2-класс. Көбөйтүүчүлөрдүн ордун алмаштырууга жана топтоштурууга болот — орун алмаштыруу жана топтоштуруу закондору.
• 2–4-класс. Көбөйтүүнү жеңил бөлүккө жана оңдоого бөлүүгө болот — бөлүштүрүү закону.
• 5-класс. Ондук бөлчөктөрдүн көбөйтүндүсүндө үтүрдөн кийин көбөйтүүчүлөрдө канча цифра болсо, ошончо цифра болот, ал эми болжолдоо үтүрдү эрежеден мурун коёт.
• 7–8-класс. Стандарттык түрдөгү даражанын көрсөткүчү — бул разряддардын саны.
• 10-класс. Татаал пайыздарда пайыздар пайыздарга кошулат, жана сумма түз эмес, көрсөткүчтүү түрдө өсөт.

Макаланы талкуулап, өз ыкмаларыңыз менен бөлүшүп, кийинки чыгарылыштар үчүн суроо сунуштоо үчүн «Бир жип» сериясынын Телеграм-чатына кошулуңуз: @youraizone.