Сколько примерно?

Серия «Одна нить», статья 2

Работая с учителями и репетиторами, мы часто слышим один и тот же вопрос: как объяснить так, чтобы понял каждый? Готовых рецептов у нас нет, но есть наблюдения и приёмы, которыми хочется поделиться. Мы постараемся регулярно делиться своим опытом на отдельных маленьких примерах из школьной математики и прослеживать, куда он ведёт — от начальной школы до взрослой жизни.

Покупатель берёт 38 пачек тетрадей по 49 сомов. Продавец набирает на калькуляторе и говорит: «С вас 18 620». Кто-то в очереди сразу чувствует, что это неправда, а кто-то лезет за кошельком. Калькулятор не ошибся: он честно умножил то, что ему дали. Просто продавец случайно нажал лишний ноль и умножил 380 на 49.

Часто говорят, что считать в уме — анахронизм: телефон всегда под рукой и не ошибается. Но телефон точно отвечает только на тот вопрос, который в него ввели. Тот ли это вопрос и похож ли ответ на правду, может сказать только человек, который ещё до нажатия кнопок знает, сколько должно получиться примерно. Об этом «примерно» — наш сегодняшний разговор.

Начальная школа: оставить пучки, отбросить палочки

В прошлом выпуске, разбирая вычитание столбиком, мы пользовались пучками палочек: десяток — это пучок, сотня — пучок пучков. Прикидка начинается ровно отсюда. Тридцать восемь — это почти четыре пучка. Сорок девять — почти пять. Округлить число до десятков — значит оставить пучки и перестать считать отдельные палочки.

Четыре десятка на пять десятков — это двадцать сотен, то есть две тысячи. И обратите внимание: второклассник, который понимает, что десяток на десяток даёт сотню, получает этот ответ за секунду и без всякой таблицы.

Мы здесь переставили и сгруппировали множители: посчитали отдельно 4 × 5 и отдельно 10 × 10. Это разрешают переместительный и сочетательный законы. Числа в задаче приходят в том порядке, в каком их записал автор, а не в том, в каком удобно считать. Кто знает, что их можно переставить, считает в удобном порядке.

Мы округлили оба числа вверх, значит, настоящий ответ чуть меньше двух тысяч. А если округлить оба вниз — три десятка на четыре десятка, — получится тысяча двести, и настоящий ответ точно больше. Теперь мы знаем главное: покупка стоит между тысячей двумястами и двумя тысячами сомов, ближе к двум. Восемнадцать тысяч быть не может ни при каком раскладе.

Это и есть оценка снизу и сверху — та же работа с пучками, и учить ей можно тогда же, когда учат умножению. Ребёнок, который привык говорить «будет примерно…», потом проверяет свой ответ сам, без учителя.

Пятый и шестой класс: где поставить запятую

Пятикласснику дают пример: 0,38 × 4,9. Он умножает столбиком, как целые числа, и получает 1862. Теперь нужно поставить запятую, и в ход идёт правило: сосчитай, сколько цифр после запятой в обоих множителях, — две и одна, всего три, — и отсчитай столько же справа. Получается 1,862. Правило верное. Но стоит ребёнку сбиться на одну цифру, и в тетради появится 18,62 или 0,1862. Каждый из этих ответов выглядит так же правдоподобно, как верный, если не знать, сколько должно получиться.

А знать это несложно. 0,38 — это почти 0,4, а 4,9 — почти 5. Четыре десятых на пять — две целых. Значит, ответ около двух, и из трёх вариантов подходит только 1,862. Запятая встала на место раньше, чем мы вспомнили правило.

Седьмой–девятый класс: сколько разрядов

В седьмом–восьмом классе появляется стандартный вид числа: 1862 записывают как 1,862 · 10³. На самом деле это самая честная запись прикидки: степень десяти говорит, сколько в числе разрядов, то есть каков его порядок. Наша покупка «около двух тысяч» — это и есть 2 · 10³.

И вот что важно понять ученику: для многих вопросов порядок значит больше, чем все остальные цифры. Проверьте это на себе. Миллион секунд — это сколько? Миллион и миллиард звучат похоже: оба «много», оба с нулями. Но миллион секунд — это чуть больше одиннадцати суток. А миллиард секунд — почти тридцать два года. Три лишних разряда — и «на следующей неделе» превращается в «полжизни».

Человек, который чувствует порядок, не спутает миллион с миллиардом в новостях. Для этого не нужен отдельный урок: достаточно, чтобы в каждой задаче с большими или маленькими числами звучал вопрос «сколько здесь разрядов?».

Прикидка плюс поправка

Теперь самое интересное. Вернёмся к тетрадям: 38 пачек по 49 сомов. Мы прикинули «около двух тысяч», округлив оба числа. А если округлить только одно? Какое — решаем сами: от перестановки множителей произведение не меняется (это переместительный закон), так что выбираем то, которое удобнее. 49 — это 50 без одного. Тридцать восемь пачек по 50 сомов — это 1900. Но каждая пачка стоит на сом меньше, значит, мы переплатили 38 сомов. Вернём их: 1900 − 38 = 1862. Это уже не прикидка, а точный ответ, полученный в уме.

За этим ходом стоит распределительный закон: 38 × (50 − 1) = 38 × 50 − 38 × 1. Во втором классе его формулируют на доске, и дети честно его запоминают, не понимая, зачем он нужен. Здесь видно зачем: он разрешает разбить трудное умножение на лёгкое и поправку.

Посмотрите, как устроен этот ход. Первый шаг — довести число до круглого, до следующего разряда: вместо 49 взять 50. Если остановиться здесь, получится прикидка. Второй шаг — поправка: вернуть то, что мы добавили. Сделали оба шага — получили точный ответ. Прикидка и счёт в уме — не два разных умения, а одно, просто доведённое до конца или нет.

На этом же ходе держится целое семейство приёмов, которые любят показывать в коротких видео:

• Умножить на 9 — значит умножить на 10 и отнять само число. 47 × 9 = 470 − 47 = 423. Девять — это десять без одного, и распределительный закон разрешает убрать лишнее отдельно.
• Умножить на 5 — значит умножить на 10 и разделить пополам. 64 × 5 = 640 : 2 = 320. Пять — это половина десяти, а сочетательный закон разрешает сначала умножить на 10, потом разделить на 2.

Каждый раз мы делаем одно и то же: переходим к круглому числу, то есть к следующему разряду, где умножение сводится к сдвигу цифр, а потом поправляем. Вычитание «с запасом» из прошлого выпуска устроено точно так же, только там работает сочетательный закон сложения: отнять 17 — всё равно что отнять 20 и прибавить 3.

Эти законы ребёнок встречает в начальной школе как правила с формулировками, а в седьмом классе — снова, в алгебре: раскрытие скобок держится на том же распределительном законе. Если законы были инструментом, которым он считал в уме, алгебра окажется записью того, что он давно умеет делать. И так же важно понимать, что переставлять можно не всё: семь минус три — не то же самое, что три минус семь, а в жизни сначала надевают носки и только потом ботинки. Переместительный и сочетательный законы — особое свойство сложения и умножения, и разрядная запись превращает это свойство в инструмент.

Приём, показанный как фокус, забудется через месяц. Приём, понятый до конца, ребёнок начнёт придумывать сам — и это верный признак того, что разряд понят.

Старшие классы и жизнь: проценты, которые растут на процентах

Задача: вклад растёт на 10 % в год. Во сколько раз он вырастет за 25 лет? Самый частый ответ — «на 250 %», то есть в три с половиной раза: 10 % умножили на 25 лет. Но это неверно. Каждый год 10 % начисляются не на первоначальную сумму, а на уже выросшую.

Проследим это без калькулятора. Прибавить 10 % — значит прибавить десятую часть, а десятая часть числа — это то же число, сдвинутое на один разряд вправо. Была единица — прибавляем 0,1, получаем 1,1. Прибавляем десятую часть от 1,1, то есть 0,11, — получаем 1,21. Десятая часть от 1,21 — это 0,121, то же число, сдвинутое на разряд вправо. Складываем: 1,21 + 0,121 = 1,331, или, округлённо, 1,33. И так на каждом шаге: сдвигаем число на разряд вправо и прибавляем его к себе. Дальше 1,33, потом 1,46, 1,61, 1,77, 1,95. Семь шагов — и сумма почти удвоилась. Значит, за четырнадцать лет она вырастет почти вчетверо, за двадцать один — больше чем в семь раз. Оставшиеся четыре года добавят ещё почти половину, и выйдет около одиннадцати. Была тысяча — стало почти одиннадцать тысяч, а не три с половиной. Разница не в процентах, а в разряде: у суммы появилась лишняя цифра.

Теперь та же арифметика, но с другой стороны. Заём под 24 % годовых: каждый год долг вырастает почти на четверть. Прибавим к единице почти четверть — 1,24; ещё почти четверть от этого — около 1,54; ещё раз — около 1,91. За три года долг почти удвоился. Человек, который умеет так прикидывать, видит всё это до того, как подписал договор. Тому, кто не умеет, это покажет только время.

Завтра на уроке

Всё сказанное сводится к одной простой привычке, и её можно вводить в любом классе — от второго до одиннадцатого. Прежде чем ученик начнёт считать, попросите его назвать ответ примерно. Не угадать, а прикинуть: округлить до удобного разряда и сказать «будет около двух тысяч» или «будет чуть меньше двух». Потом пусть считает точно — на бумаге, в уме или на калькуляторе. А потом сравнит одно с другим.

Этот третий шаг — сравнить — самый важный. Если точный ответ и прикидка далеко друг от друга, ошибка есть в одном из них, и ученик сам ищет её, без подсказки учителя. Если они близки, он получает то, что не даст ни одна проверка в конце учебника: уверенность, что понимает, что делает.

Для этого не нужен новый учебник: нужно только, чтобы вопрос «сколько примерно?» звучал на уроке так же привычно, как «сколько будет?».

На чём держится нить

• 2–3 класс. Округлить — значит оставить нужный разряд и отбросить младшие.
• 2 класс. Множители можно переставлять и группировать — переместительный и сочетательный законы.
• 2–4 класс. Умножение можно разбить на лёгкую часть и поправку — распределительный закон.
• 5 класс. В произведении десятичных дробей столько знаков после запятой, сколько у множителей вместе, а прикидка ставит запятую раньше правила.
• 7–8 класс. Показатель степени в стандартном виде — это число разрядов.
• 10 класс. При сложных процентах проценты начисляются на проценты, и сумма растёт не линейно, а показательно.

Обсудить статью, поделиться своими приёмами и предложить вопрос для следующих выпусков можно в Телеграм-канале «Одна нить» @youraizone.