Последовательности, ряды и тесты на сходимость

Бесконечные последовательности

Бесконечная последовательность — это упорядоченный список чисел, который продолжается бесконечно. Мы обозначаем последовательность как {a_n} или a₁, a₂, a₃, ..., где каждое a_n представляет член последовательности. Значение каждого члена определяется его позицией n.

Последовательность может быть определена:

• Явно: путем задания формулы для n-го члена (например, a_n = 1/n)
• Рекуррентно: путем указания начальных членов и правила для нахождения последующих членов (например, a₁ = 1, a_n+1 = 2a_n)

Сходимость последовательностей

Последовательность {a_n} сходится к пределу L, если члены последовательности приближаются к L при стремлении n к бесконечности. Мы записываем:

Если последовательность не сходится, мы говорим, что она расходится. Последовательность может расходиться, колеблясь между значениями или неограниченно возрастая.

Бесконечные ряды

Бесконечный ряд — это сумма всех членов бесконечной последовательности. Если {a_n} — последовательность, то соответствующий ряд:

Мы определяем частичную сумму S_n как сумму первых n членов:

Бесконечный ряд сходится, если последовательность частичных сумм {S_n} сходится к конечному пределу S. Мы записываем:

Если последовательность частичных сумм не сходится к конечному пределу, ряд расходится.

Тесты на сходимость