Карта электрического влияния
Сложные системы упрощаются двумя описаниями: поле — вектор силы, потенциал — скаляр энергии.
Цели
- складывать поля как векторы, потенциалы как скаляры;
- связывать поле, разность потенциалов, работу и энергию;
- правильно читать линии поля и эквипотенциали;
- использовать симметрию и закон Гаусса в пределах применимости;
- анализировать диполи, проводники и конденсаторы.
1. Поле и сила
$\mathbf E=\mathbf F/q_0$. Для точечного заряда $\mathbf E=kq\hat{\mathbf r}/r^2$: наружу от положительного, внутрь к отрицательному. На заряд действует $\mathbf F=q_t\mathbf E$; для отрицательного сила противоположна полю. Для многих источников $\mathbf E=\sum\mathbf E_i$, поэтому складывают компоненты.
2. Потенциал и энергия
$V=U/q_t$. Точечный заряд даёт $V=kq/r$, источники складываются алгебраически. $V_B-V_A=-\int_A^B\mathbf E\cdot d\mathbf l$, а $\mathbf E=-\nabla V$: поле направлено к быстрейшему уменьшению потенциала. $\Delta U=q_t\Delta V$, $W_{field}=-\Delta U$.
3. Линии и эквипотенциали
Линии идут от плюса к минусу или бесконечности, касательная задаёт направление, линии не пересекаются. По эквипотенциали работа не совершается; поле перпендикулярно поверхности. Частые эквипотенциали означают сильное поле.
4. Распределения и закон Гаусса
Для распределения интегрируют $d\mathbf E=k\,dq\hat{\mathbf r}/r^2$. $\oint\mathbf E\cdot d\mathbf A=Q_{enc}/\varepsilon_0$ всегда верен, но прямо даёт $E$ только при высокой симметрии: сфера, длинная линия, бесконечная плоскость. Для сложной геометрии используют интеграл или численный расчёт.