Решение текстовых задач с помощью дробно-рациональных уравнений
Подготовка к ИГА (9 класс) — Задание №21
📌 Что такое дробно-рациональное уравнение?
Рациональное уравнение — это уравнение, содержащее рациональные выражения, то есть выражения, которые можно представить в виде отношения двух многочленов.
Дробно-рациональное уравнение — это рациональное уравнение, которое обязательно содержит хотя бы одну дробь с переменной в знаменателе.
Примеры дробно-рациональных уравнений:
$$\frac{1}{x} + \frac{2}{x-3} = 5, \qquad \frac{x+1}{x^2-4} = \frac{3}{x-2}$$
Такие уравнения естественно возникают при решении текстовых задач на движение, работу и другие практические ситуации, потому что формулы $t = \frac{S}{v}$ и $P = \frac{1}{t}$ порождают дроби с переменной в знаменателе.
🔧 Алгоритм решения дробно-рационального уравнения
- Шаг 1. Найти ОДЗ (область допустимых значений) — определить, при каких значениях $x$ знаменатели обращаются в ноль.
- Шаг 2. Найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение.
- Шаг 3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель — получится целое уравнение (линейное или квадратное).
- Шаг 4. Решить полученное целое уравнение.
- Шаг 5. Проверить корни! Исключить те, которые не входят в ОДЗ (обращают знаменатель в ноль).
⚠️ Главное правило
В дробно-рациональных уравнениях обязательно нужно находить ОДЗ и проверять корни на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и всё решение будет считаться неверным!