Динамика вращающихся систем
Вращательная динамика связывает распределение массы, линию действия силы и угловое движение. Момент импульса объясняет устойчивость вращения к изменениям.
Цели
- использовать угловые перемещение, скорость и ускорение;
- вычислять момент силы и момент инерции относительно указанной оси;
- применять $\sum\tau=I\alpha$ и энергию вращения;
- анализировать качение без скольжения;
- применять момент импульса к сохранению и прецессии.
1. Поступательное и вращательное описание
| Поступательное | Вращение |
|---|---|
| $x,v,a$ | $\theta,\omega,\alpha$ |
| масса $m$ | момент инерции $I$ |
| $\sum F=ma$ | $\sum\tau=I\alpha$ |
| $K=\tfrac12mv^2$, $p=mv$ | $K_{rot}=\tfrac12I\omega^2$, $L=I\omega$ |
При постоянном $\alpha$: $\omega=\omega_0+\alpha t$, $\theta=\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2$, $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\theta$. Используются радианы. Точки твёрдого тела имеют одну $\omega$, но $v=\omega r$ различается.
2. Момент силы и плечо
$\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F$, а $\tau=rF\sin\phi=F\ell$, где $\ell$ — перпендикулярное плечо от оси до линии силы. Направление задаёт правило правой руки. Сила через ось не даёт момента; меньшая сила далеко от оси может вращать сильнее.
3. Момент инерции
$I=\sum m_ir_i^2$ — мера сопротивления угловому ускорению относительно конкретной оси. Точка: $mr^2$; тонкое кольцо: $MR^2$; сплошной диск: $\tfrac12MR^2$; сплошная сфера: $\tfrac25MR^2$. Для параллельной оси $I=I_{cm}+Md^2$.