Гравитация как геометрия орбиты
Орбита — непрерывное свободное падение: гравитация изгибает путь так, что тело всё время промахивается мимо центрального объекта. Полёт управляет скоростью, направлением и орбитальной энергией.
Цели
- согласованно применять силу, поле, потенциал и энергию;
- выводить скорость и период круговой орбиты;
- понимать эллипс, энергию и скорость убегания;
- объяснять переходные импульсы, уравнение ракеты и гравитационный манёвр;
- отличать микрогравитацию свободного падения от отсутствия гравитации.
1. Всемирное тяготение
$F=GMm/r^2$ направлена вдоль линии масс. Вне сферического тела его масса действует как сосредоточенная в центре. $g=GM/r^2$, $\phi=-GM/r$, $U=-GMm/r$. Ноль потенциала выбирают на бесконечности, поэтому связанная энергия отрицательна.
| Величина | Смысл | Единица |
|---|---|---|
| $g$ | сила на единицу массы | Н/кг |
| $\phi$ | энергия на единицу массы | Дж/кг |
| $U$ | энергия конфигурации двух тел | Дж |
2. Круговые и эллиптические орбиты
Для круга $GMm/r^2=mv^2/r$, поэтому $v_c=\sqrt{GM/r}$ и $T=2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$. Высокая круговая орбита медленнее, но имеет больший период.
Орбита — эллипс с центральным телом в фокусе; радиус-вектор заметает равные площади за равные времена; $T^2\propto a^3$. Формула vis-viva: $v^2=GM(2/r-1/a)$.
3. Энергия и убегание
Для круга $K=GMm/(2r)$, $U=-GMm/r$, $E=-GMm/(2r)$. Для связанного эллипса $E=-GMm/(2a)$. При нулевой полной энергии $v_{esc}=\sqrt{2GM/r}=\sqrt2v_c$. Это скорость достижения бесконечности с нулевой конечной скоростью в идеальной модели.