Площади поверхностей и объёмы 3D-тел
Комплексный учебный модуль для 10 класса: прямоугольный параллелепипед, прямая призма, пирамида, цилиндр, конус и шар.
Общие обозначения
- $S_{\text{бок}}$ — площадь боковой поверхности
- $S_{\text{полн}}$ — площадь полной поверхности
- $V$ — объём тела
- $S_{\text{осн}}$ — площадь основания
- $P_{\text{осн}}$ — периметр основания
- $h$ — высота тела
- $l$ — апофема (наклонная высота боковой грани)
- $r$, $R$ — радиусы
1. Прямоугольный параллелепипед
Определение
Прямоугольный параллелепипед — это призма, все грани которой являются прямоугольниками. Он имеет три пары попарно равных и параллельных граней.
Элементы
- Три измерения: длина $a$, ширина $b$, высота $c$
- 6 граней (прямоугольников)
- 12 рёбер, 8 вершин
- Диагональ: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$
Формулы
Площадь полной поверхности:
$$S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac)$$
Объём:
$$V = abc$$
Частный случай: Куб
Если $a = b = c$, то:
$$S_{\text{полн}} = 6a^2, \quad V = a^3$$
Interactive visualization — available in the full lesson