Тейлор катары жана жакындатуулар
Тейлор катары - бул функцияларды белгилүү бир чекиттеги туундуларынан алынган мүчөлөрдүн чексиз суммасы катары көрсөтүүгө мүмкүндүк берген күчтүү математикалык куралдар. Алар дискреттүү жана үзгүлтүксүз математиканын ортосундагы алакаларды байланыштырып, татаал функцияларды көпмүчөлүк туюнтмалар менен жакындатууга мүмкүндүк беришет.
Аныктама жана түшүнүк
Тейлор катары - бул функциянын белгилүү бир чекит тегерегиндеги чексиз катар көрүнүшү. Эгер биз f(x) функциясын x = a чекити тегерегинде жайсак, Тейлор катары төмөнкүдөй болот:
$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + ...$$
Же сигма белгилөөсүн колдонуу менен кыскача:
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$
a = 0 болгондо, Тейлор катары Маклорен катары деп аталат:
$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + ...$$
Негизги түшүнүктөр
- Жыйылуу: Тейлор катары xтин бардык мааниси үчүн жыйылбашы мүмкүн. Жыйылуу радиусу катардын жыйылган интервалын аныктайт.
- Тейлор көпмүчөлөрү: Тейлор катарын чектүү сандагы мүчөлөрдөн кийин кесүү Тейлор көпмүчөсүн берет, ал жайылуу чекитинин жанында функцияны жакындатат.
- Ката баалоо: Калдык мүчө (же ката мүчөсү) функция менен анын Тейлор көпмүчөлүк жакындатуусунун ортосундагы айырманы өлчөйт.
- Аналитикалуулук: Өзүнүн Тейлор катарына барабар болгон функциялар аналитикалык функциялар деп аталат.
Кеңири таралган Тейлор катарлары
Бир нече маанилүү функциялардын белгилүү Тейлор катар жайылуулары бар: