Степень с действительным показателем
10 класс · Алгебра
1. Расширение определения на иррациональные показатели
Вы уже знаете, как вычислять $a^r$, когда $r$ — рациональное число (дробь $\frac{p}{q}$). Но что означает $a^x$, когда $x$ — иррациональное число, например $\sqrt{2}$ или $\pi$?
Ключевая идея: Любое иррациональное число можно приблизить последовательностью рациональных чисел. Мы используем эти приближения, чтобы определить степень.
Пример: Определение $3^{\sqrt{2}}$
Число $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ — иррациональное. Построим рациональные приближения:
| Шаг $n$ | Рациональное прибл. $r_n$ | $3^{r_n}$ |
|---|---|---|
| 1 | 1,4 | $3^{1.4} \approx 4{,}6555$ |
| 2 | 1,41 | $3^{1.41} \approx 4{,}7070$ |
| 3 | 1,414 | $3^{1.414} \approx 4{,}7277$ |
| 4 | 1,4142 | $3^{1.4142} \approx 4{,}7287$ |
| 5 | 1,41421 | $3^{1.41421} \approx 4{,}7288$ |
Определение: $$a^x = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$$ где $r_1, r_2, r_3, \ldots$ — рациональные числа, приближающиеся к $x$.
Таким образом, $3^{\sqrt{2}} \approx 4{,}7288\ldots$ — вполне определённое положительное действительное число.
Интерактив: Наблюдайте, как $3^{r_n}$ сходится к $3^{\sqrt{2}}$
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
2. Общее определение
Определение: Для любого действительного числа $x$ и любого $a > 0$ степень $a^x$ является положительным действительным числом.
$$a > 0 \implies a^x > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$
Частный случай: $a = 0$
| Условие | Значение | Пример |
|---|---|---|
| $x > 0$ | $0^x = 0$ ✅ | $0^5 = 0$, $0^{\sqrt{3}} = 0$ |
| $x = 0$ | $0^0$ не определено ❌ | — |
| $x < 0$ | $0^x$ не определено ❌ | $0^{-1}$, $0^{-\sqrt{2}}$ не имеют смысла |
⚠ Почему $0^{-1}$ не определено?
$0^{-1} = \frac{1}{0^1} = \frac{1}{0}$, а это деление на ноль — не определено!
⚠ Почему $0^{-\sqrt{2}}$ не определено?
$0^{-\sqrt{2}} = \frac{1}{0^{\sqrt{2}}} = \frac{1}{0}$ — снова деление на ноль.
Запомните: При $x \leq 0$ выражение $0^x$ не имеет смысла.