Синус, косинус и тангенс углов α и −α
Главная идея
Когда мы поворачиваем точку на единичной окружности на угол α и на угол −α, две полученные точки являются зеркальными отражениями относительно оси x. Этот простой геометрический факт даёт нам мощные тождества, позволяющие выражать тригонометрические функции отрицательных углов через функции положительных углов.
1. Геометрическое построение на единичной окружности
Рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат $O(0;\,0)$ и начальной точкой $P(1;\,0)$ на положительной полуоси x.
- Точка M₁ получается поворотом точки $P$ против часовой стрелки на угол $\alpha$. Её координаты: $$M_1 = (\cos\alpha;\;\sin\alpha)$$
- Точка M₂ получается поворотом точки $P$ по часовой стрелке на угол $\alpha$ (то есть на угол $-\alpha$). Её координаты: $$M_2 = (\cos(-\alpha);\;\sin(-\alpha))$$
- Симметрия: Ось x является биссектрисой угла $M_1OM_2$, поэтому $M_1$ и $M_2$ симметричны относительно оси x.
Ключевые наблюдения из симметрии:
- Координаты x (абсциссы) точек $M_1$ и $M_2$ равны.
- Координаты y (ординаты) точек $M_1$ и $M_2$ противоположны по знаку.
Следовательно: $M_1 = (\cos\alpha;\;\sin\alpha)$ и $M_2 = (\cos\alpha;\;-\sin\alpha)$
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Перемещайте ползунок, чтобы изменять α, и наблюдайте, как M₁ и M₂ остаются симметричными относительно оси x.