Показательная функция, её свойства и график
Алгебра 10 класс — Полный интерактивный урок
§1. Повторение основных свойств степеней с действительными показателями
Прежде чем изучать показательную функцию, вспомним основные свойства степеней. Для $a > 0$, $b > 0$ и любых действительных чисел $x_1$, $x_2$:
| # | Свойство | Формула | Название |
|---|---|---|---|
| 1 | Произведение степеней с одинаковым основанием | $$a^{x_1} \cdot a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}$$ | Правило произведения |
| 2 | Частное степеней с одинаковым основанием | $$\frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = a^{x_1 - x_2}$$ | Правило частного |
| 3 | Степень степени | $$(a^{x_1})^{x_2} = a^{x_1 \cdot x_2}$$ | Правило возведения в степень |
| 4 | Степень произведения | $$(a \cdot b)^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$$ | Произведение оснований |
| 5 | Степень дроби | $$\left(\frac{a}{b}\right)^{x} = \frac{a^{x}}{b^{x}}$$ | Частное оснований |
⚡ Важные свойства упорядоченности
- (6) $a^{x} > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$ — степени всегда положительны
- (7) $a^{x} > 1$, если $a > 1$ и $x > 0$
- (8) Если $a > 1$ и $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$ возрастание
- (9) Если $0 < a < 1$ и $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$ убывание
§2. Определение показательной функции
📌 Определение
Функция вида $y = a^x$, где $a$ — фиксированное положительное число и $a \neq 1$, называется показательной функцией с основанием $a$.
Ключевые моменты:
- Основание $a$ — это фиксированное положительное число, $a \neq 1$
- Переменная $x$ стоит в показателе степени
- Аргументом показательной функции является показатель степени
- Основание — это фиксированное число, а не переменная
Примеры показательных функций:
- $y = 2^x$ — основание $a = 2 > 1$
- $y = 10^x$ — основание $a = 10 > 1$
- $y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ — основание $a = \tfrac{1}{2}$, где $0 < a < 1$
- $y = 0{,}1^x$ — основание $a = 0{,}1$, где $0 < a < 1$
⚠️ Почему $a = 1$ исключается? Если $a = 1$, то $y = 1^x = 1$ для всех $x$. Это просто постоянная функция $y = 1$, которая не представляет интереса как показательная функция.