Решение простейших тригонометрических неравенств
Что такое тригонометрические неравенства?
Тригонометрическое неравенство — это неравенство, содержащее тригонометрические функции, такие как $\sin x$, $\cos x$ или $\tan x$. Решить его — значит найти все значения $x$, при которых неравенство выполняется.
Примеры простейших тригонометрических неравенств:
- $\sin x > \frac{1}{2}$
- $\cos x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\tan x < 1$
Основная стратегия: использование единичной окружности
Основной подход к решению тригонометрических неравенств включает три шага:
Шаг 1
Решить уравнение
Заменить знак неравенства на $=$ и найти граничные углы, при которых тригонометрическая функция равна заданному значению.
Шаг 2
Отметить на единичной окружности
Определить граничные точки на единичной окружности и выяснить, какие дуги удовлетворяют неравенству.
Шаг 3
Записать ответ
Выразить решение в виде промежутков, добавив $+ 2\pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) для записи общего решения.