Свойства функции $y = \tan x$ и её график
📌 Что такое функция тангенса?
Функция тангенса — одна из шести основных тригонометрических функций. Она определяется как отношение синуса к косинусу:
$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$
Это определение сразу говорит нам кое-что важное: всякий раз, когда $\cos x = 0$, функция тангенса не определена. Это приводит к одной из самых характерных особенностей графика тангенса — его вертикальным асимптотам.
🔑 Основные свойства $y = \tan x$
| Свойство | Значение |
|---|---|
| Область определения | Все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — любое целое число |
| Область значений | $(-\infty, +\infty)$ — все действительные числа |
| Период | $\pi$ (или $180°$) |
| Амплитуда | Не определена — функция стремится к $\pm\infty$ |
| Нули функции | $x = n\pi$, где $n$ — любое целое число (т.е. $0, \pm\pi, \pm 2\pi, \ldots$) |
| Пересечение с осью y | $(0, 0)$ |
| Вертикальные асимптоты | $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ |
| Симметрия | Нечётная функция: $\tan(-x) = -\tan(x)$ |
| Монотонность | Строго возрастает на каждом интервале между соседними асимптотами |
🧠 Разбираемся в свойствах
1. Почему период равен $\pi$, а не $2\pi$?
В отличие от $\sin x$ и $\cos x$, которые имеют период $2\pi$, тангенс повторяется каждые $\pi$ радиан. Это объясняется тем, что:
$$\tan(x + \pi) = \frac{\sin(x + \pi)}{\cos(x + \pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$
2. Почему появляются вертикальные асимптоты?
При $x = \frac{\pi}{2}$ имеем $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, поэтому $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ содержит деление на ноль. Когда $x$ приближается к $\frac{\pi}{2}$:
- Слева: $\tan x \to +\infty$
- Справа: $\tan x \to -\infty$
3. Симметрия нечётной функции
Поскольку $\tan(-x) = -\tan(x)$, график обладает центральной симметрией относительно начала координат (поворот на 180°). Это означает, что график в III четверти является поворотом графика в I четверти.