Синус, косинус и тангенс половинного угла
🎯 Главная идея
Формулы половинного угла позволяют находить точные значения тригонометрических функций для углов, которые составляют половину известного угла. Например, если мы знаем значения тригонометрических функций для $60°$, мы можем найти точные значения для $30°$. Более того, мы можем находить точные значения для таких углов, как $22{,}5°$ (половина от $45°$) или $15°$ (половина от $30°$), которые не являются стандартными углами на единичной окружности.
📐 Вывод формул половинного угла
Начнём с формулы двойного угла для косинуса:
Теперь пусть $\theta = 2\alpha$, что означает $\alpha = \frac{\theta}{2}$. Подставляя:
Начинаем с: $\cos\theta = 1 - 2\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$
$2\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 - \cos\theta$
$\sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{2}$
$$\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$$
Начинаем с: $\cos\theta = 2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) - 1$
$2\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = 1 + \cos\theta$
$\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos\theta}{2}$
$$\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$$
Так как $\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)}$, получаем:
$$\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$$
Существуют также две очень полезные альтернативные формы без знака ±:
Эти формы получаются путём умножения числителя и знаменателя на соответствующие сопряжённые выражения и использования тождества $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.