1. Повторение: геометрическая прогрессия
Определение
Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность $b_1, b_2, b_3, \ldots$, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное ненулевое число $q$, называемое знаменателем прогрессии:
$$b_{n+1} = b_n \cdot q \quad \text{для всех натуральных } n, \quad b_n \neq 0, \quad q \neq 0$$
Основные формулы
| Формула | Выражение | Условие |
|---|---|---|
| $n$-й член | $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$ | $n \geq 1$ |
| Сумма первых $n$ членов | $$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$$ | $q \neq 1$ |
Примеры
Пример А: $1,\; 3,\; 9,\; 27,\; \ldots$ при $q = 3$
Члены неограниченно возрастают.
Члены неограниченно возрастают.
Пример Б: $1,\; \frac{1}{5},\; \frac{1}{25},\; \frac{1}{125},\; \ldots$ при $q = \frac{1}{5}$
Члены убывают, стремясь к нулю.
Члены убывают, стремясь к нулю.
2. Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Основное определение
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если абсолютное значение её знаменателя меньше единицы:
$$|q| < 1$$
С увеличением $n$ члены $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ стремятся к нулю, так как $|q|^{n-1} \to 0$.
$q = \frac{1}{2}$ ✓
$|q| = 0{,}5 < 1$
$|q| = 0{,}5 < 1$
$q = -\frac{1}{3}$ ✓
$|q| = \frac{1}{3} < 1$
$|q| = \frac{1}{3} < 1$
$q = 0{,}1$ ✓
$|q| = 0{,}1 < 1$
$|q| = 0{,}1 < 1$
Интерактив: наблюдайте, как члены ГП стремятся к нулю при $|q| < 1$
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Перемещайте ползунки, чтобы изменить $q$ и $b_1$. Обратите внимание, как члены стремятся к нулю при $|q| < 1$.