Показательные неравенства
10 класс · Алгебра
Основной принцип
Решение показательных неравенств сводится к сравнению показателей степеней, когда обе части записаны как степени с одинаковым основанием. Ключевой инструмент — монотонность показательной функции $f(x) = a^x$.
Возрастающая функция: $a > 1$
Когда основание $a > 1$, функция $f(x) = a^x$ является строго возрастающей.
Большему значению функции соответствует больший аргумент.
- $a^x > a^b \;\Longleftrightarrow\; x > b$
- $a^x < a^b \;\Longleftrightarrow\; x < b$
Знак неравенства сохраняется.
Убывающая функция: $0 < a < 1$
Когда $0 < a < 1$, функция $f(x) = a^x$ является строго убывающей.
Большему значению функции соответствует меньший аргумент.
- $a^x > a^b \;\Longleftrightarrow\; x < b$
- $a^x < a^b \;\Longleftrightarrow\; x > b$
Знак неравенства меняется на противоположный.
Интерактив: Монотонность $y = a^x$
Перемещайте ползунок, чтобы изменить основание $a$, и наблюдайте, как функция меняется с возрастающей на убывающую.
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке