🔍 Зачем нам нужны логарифмы?
✅ Уравнения, которые мы УЖЕ умеем решать
Рассмотрим уравнение:
$2^x = 8$
Мы замечаем, что $8 = 2^3$, поэтому перепишем:
$2^x = 2^3 \implies x = 3$
Легко! Показатель степени — удобное целое число.
❌ Уравнения, которые мы (пока) НЕ МОЖЕМ решить
Теперь рассмотрим уравнение:
$2^x = 5$
Мы не можем записать 5 как $2^{\text{удобное число}}$.
$2^2 = 4$ — слишком мало. $2^3 = 8$ — слишком много.
Значит, $x$ находится где-то между 2 и 3, но чему именно он равен?
Нам нужно новое математическое понятие!
«В какую степень нужно возвести данное основание, чтобы получить данное число?»
📐 Определение логарифма
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$.
$$\log_a b = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x = b$$
Условия: $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$
📖 Терминология
- В записи $\log_a b = x$: число $a$ называется основанием
- Число $b$ называется аргументом
- Результат $x$ — это логарифм (то есть показатель степени)
🔢 Примеры:
$\log_2 8 = 3$
потому что $2^3 = 8$
$\log_3 81 = 4$
потому что $3^4 = 81$
$\log_5 \tfrac{1}{25} = -2$
потому что $5^{-2} = \tfrac{1}{25}$
🔄 Логарифм и показательная функция — обратные операции
Логарифмическая и показательная формы — это два способа записи одного и того же соотношения. Они взаимозаменяемы:
$$\log_a b = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x = b$$
Логарифмическая форма $\longleftrightarrow$ Показательная форма
Переход между этими двумя формами — это самый важный навык при работе с логарифмами.
| Логарифмическая форма | ↔ | Показательная форма |
|---|---|---|
| $\log_7 49 = 2$ | ↔ | $7^2 = 49$ |
| $\log_{10} 0{,}001 = -3$ | ↔ | $10^{-3} = 0{,}001$ |
| $\log_2 32 = 5$ | ↔ | $2^5 = 32$ |
| $\log_4 2 = \tfrac{1}{2}$ | ↔ | $4^{1/2} = 2$ |