📐 Логарифмическая функция, её свойства и график
Алгебра 10 класс — Полный интерактивный урок
1. Определение логарифмической функции
Определение
Логарифмическая функция — это функция вида:
$$y = \log_a x$$
где $a$ — фиксированное положительное число, называемое основанием, причём $a > 0$ и $a \neq 1$, а $x$ — независимая переменная.
Примеры логарифмических функций:
основание $a = 3$
основание $a = \tfrac{1}{2}$
основание $a = 10$
основание $a = e \approx 2{,}718$
2. Свойства $y = \log_a x$
Свойство 1: Область определения
Область определения $y = \log_a x$ — все положительные действительные числа: $\mathcal{D}(f) = (0, +\infty)$.
- $\log_a x$ имеет смысл только при $x > 0$.
- Ось $y$ (прямая $x = 0$) является вертикальной асимптотой.
- Область определения НЕ включает ноль и отрицательные числа.
Свойство 2: Область значений
Область значений $y = \log_a x$ — все действительные числа: $\mathcal{R}(f) = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$.
Доказательство: Для любого действительного числа $b$ существует положительное число $x = a^b$ такое, что $\log_a(a^b) = b$. Следовательно, каждое действительное число $b$ достигается как значение функции. $\square$
Свойство 3: Неограниченность
Логарифмическая функция неограничена — она принимает сколь угодно большие положительные и сколь угодно большие по модулю отрицательные значения.
Это непосредственно следует из свойства 2: поскольку область значений — вся числовая прямая $\mathbb{R}$, никакая конечная граница не может содержать все значения функции.
Свойство 4: Монотонность
Если $a > 1$:
$y = \log_a x$ строго возрастает на $(0, +\infty)$.
Доказательство: Пусть $0 < x_1 < x_2$. Тогда $a^{\log_a x_1} < a^{\log_a x_2}$ (так как $x_1 < x_2$). Поскольку $a > 1$, показательная функция $a^t$ возрастает, значит, показатели должны удовлетворять неравенству $\log_a x_1 < \log_a x_2$. $\square$
Если $0 < a < 1$:
$y = \log_a x$ строго убывает на $(0, +\infty)$.
Доказательство: Пусть $0 < x_1 < x_2$. Тогда $a^{\log_a x_1} < a^{\log_a x_2}$. Поскольку $0 < a < 1$, показательная функция $a^t$ убывает, поэтому неравенство показателей меняется на противоположное: $\log_a x_1 > \log_a x_2$. $\square$
Свойство 5: Знак значений функции
При $a > 1$:
- $\log_a x > 0$ при $x > 1$
- $\log_a x < 0$ при $0 < x < 1$
- $\log_a x = 0$ только при $x = 1$
При $0 < a < 1$:
- $\log_a x > 0$ при $0 < x < 1$
- $\log_a x < 0$ при $x > 1$
- $\log_a x = 0$ только при $x = 1$