Сумма и разность синусов и косинусов
Главная идея: Эти формулы позволяют преобразовать сумму или разность двух тригонометрических функций в произведение тригонометрических функций. Это невероятно полезно для упрощения выражений, решения уравнений и понимания интерференции волн.
Откуда берутся эти формулы?
Вспомним тождества преобразования произведения в сумму (выведенные из формул сложения):
- $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$
- $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$
- $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
Выполнив подстановку $A + B = \alpha$ и $A - B = \beta$, откуда $A = \frac{\alpha + \beta}{2}$ и $B = \frac{\alpha - \beta}{2}$, мы получаем приведённые ниже формулы преобразования суммы в произведение.