Обратные тригонометрические функции
Если тригонометрические функции принимают угол и возвращают отношение, то обратные тригонометрические функции делают наоборот — они принимают отношение и возвращают угол.
🔄 Главная идея
Рассмотрим уравнение:
$\sin(\theta) = x$
Если мы знаем $x$ (отношение) и хотим найти $\theta$ (угол), мы записываем:
$\theta = \sin^{-1}(x) = \arcsin(x)$
⚠️ Важно: $\sin^{-1}(x)$ НЕ означает $\frac{1}{\sin(x)}$. Верхний индекс $-1$ обозначает обратную функцию, а не обратную величину (дробь).
📋 Три основные обратные тригонометрические функции
| Функция | Обозначение | Область определения | Область значений (главное значение) |
|---|---|---|---|
| Обратный синус | $\sin^{-1}(x)$ или $\arcsin(x)$ | $[-1, 1]$ | $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ |
| Обратный косинус | $\cos^{-1}(x)$ или $\arccos(x)$ | $[-1, 1]$ | $[0, \pi]$ |
| Обратный тангенс | $\tan^{-1}(x)$ или $\arctan(x)$ | $(-\infty, \infty)$ | $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ |
🤔 Зачем нужны ограниченные области значений?
Тригонометрические функции периодичны — их значения повторяются. Например, $\sin(30°) = \sin(150°) = 0{,}5$. Поэтому если мы спросим «какой угол имеет синус 0,5?», ответов будет бесконечно много!
Чтобы обратная функция была настоящей функцией (одно значение для каждого аргумента), мы ограничиваем область значений главной ветвью. Это гарантирует, что каждому входному значению соответствует ровно одно выходное.
$\arcsin$ возвращает углы в I или IV четверти
$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ или $[-90°, 90°]$
$\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ или $[-90°, 90°]$
$\arccos$ возвращает углы в I или II четверти
$[0, \pi]$ или $[0°, 180°]$
$[0, \pi]$ или $[0°, 180°]$
$\arctan$ возвращает углы в I или IV четверти
$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ или $(-90°, 90°)$
$\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ или $(-90°, 90°)$