Непрерывность и производная
Изучаем глубокую связь между непрерывными и дифференцируемыми функциями
Часть 1: Непрерывность — краткое повторение
Прежде чем изучать производную, нам нужно хорошо понимать, что такое непрерывность. Интуитивно функция непрерывна, если её график можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги.
Формальное определение непрерывности
Функция $ f(x) $ непрерывна в точке $ x = a $ тогда и только тогда, когда выполняются все три условия:
- $ f(a) $ определено (функция имеет значение в точке $ a $)
- $ \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) $ существует (предел существует)
- $ \displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a) $ (предел равен значению функции)
Если хотя бы одно из этих условий нарушено, функция имеет разрыв в точке $ x = a $.
Типы разрывов
Устранимый
«Дырка» на графике. Предел существует, но не равен $ f(a) $ (или $ f(a) $ не определено).
Пример: $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ при $ x = 1 $
Скачок
Левый и правый пределы существуют, но не равны друг другу.
Пример: Кусочные функции со «ступенькой»
Бесконечный
Функция стремится к $ \pm\infty $ (вертикальная асимптота).
Пример: $ f(x) = \frac{1}{x} $ при $ x = 0 $