Площадь криволинейной трапеции
Что такое криволинейная трапеция?
Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная:
- Графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$ (криволинейная верхняя сторона)
- Осью $x$ (прямолинейная нижняя сторона)
- Двумя вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$ (боковые стороны)
Она называется «криволинейной», потому что хотя бы одна из её сторон является кривой, а не прямой линией.
Формальное определение площади
Пусть $f(x)$ — непрерывная и неотрицательная функция на отрезке $[a, b]$. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$ и $x = b$, вычисляется с помощью определённого интеграла:
$$S = \int_{a}^{b} f(x)\, dx$$
Это одно из самых фундаментальных применений определённого интеграла, которое служит геометрической мотивацией для его определения.