📐 Формула полной вероятности
Мощный инструмент для вычисления вероятности события путём разбиения его на более простые, взаимоисключающие сценарии.
🔑 Необходимые предварительные знания
- Условная вероятность: $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ — вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$.
- Разбиение пространства элементарных исходов: События $B_1, B_2, \ldots, B_n$ образуют разбиение пространства элементарных исходов $S$, если:
- Они попарно несовместны: $B_i \cap B_j = \emptyset$ для всех $i \neq j$
- Они образуют полную группу событий: $B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n = S$
- Каждое имеет положительную вероятность: $P(B_i) > 0$
📜 Формальное определение
Теорема: Формула полной вероятности
Если $B_1, B_2, \ldots, B_n$ образуют разбиение пространства элементарных исходов $S$, то для любого события $A$:
$$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$$
В развёрнутом виде:
$$P(A) = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + \cdots + P(A|B_n)P(B_n)$$