Производная сложной функции: правило цепочки
Главная идея
Когда функции вложены друг в друга — например, $\sin(x^2)$ или $(3x+1)^5$ — нам нужен специальный приём, называемый правилом цепочки (правилом дифференцирования сложной функции), чтобы найти их производные. Это одно из самых мощных и часто используемых правил во всём математическом анализе.
Что такое сложная (композитная) функция?
Сложная функция (композиция функций) образуется, когда одна функция применяется к результату другой функции. Если у нас есть две функции $f$ и $g$, то сложная функция записывается так:
$$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$
Здесь $g(x)$ — это внутренняя функция, а $f(u)$ — внешняя функция, где $u = g(x)$.
| Сложная функция $f(g(x))$ | Внешняя функция $f(u)$ | Внутренняя функция $g(x)$ |
|---|---|---|
| $\sin(x^2)$ | $\sin(u)$ | $u = x^2$ |
| $(3x + 1)^5$ | $u^5$ | $u = 3x + 1$ |
| $e^{2x+3}$ | $e^u$ | $u = 2x + 3$ |
| $\ln(\cos x)$ | $\ln(u)$ | $u = \cos x$ |