Приближённые вычисления с помощью дифференциалов
Главная идея
Когда точное вычисление затруднительно, математический анализ даёт нам мощный инструмент: мы можем использовать касательную в известной точке для приближённого вычисления значений функции в соседних точках. Этот приём, называемый линейной аппроксимацией, является одним из самых практичных применений производной.
1. Дифференциал
Для дифференцируемой функции $y = f(x)$ дифференциал $dy$ определяется как:
$$ dy = f'(x) \cdot dx $$
где $dx = \Delta x$ — малое изменение $x$. Ключевая идея состоит в следующем:
- $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ — точное изменение $y$
- $dy = f'(x) \cdot dx$ — приближённое изменение $y$ (вдоль касательной)
Когда $\Delta x$ мало: $\Delta y \approx dy$, что означает:
$$ f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \cdot \Delta x $$
Это формула линейной аппроксимации (также называемая приближением с помощью касательной).