Определённый интеграл
Главная идея
Определённый интеграл отвечает на один из самых фундаментальных вопросов математики: Как найти точную площадь под кривой? Он связывает идею суммирования бесконечно большого числа бесконечно тонких прямоугольников с точным числовым значением.
1. От сумм Римана к определённому интегралу
Вспомним, что мы можем приблизительно вычислить площадь под кривой $f(x)$ от $x = a$ до $x = b$, разделив отрезок на $n$ прямоугольников. Каждый прямоугольник имеет:
- Ширину: $\Delta x = \frac{b - a}{n}$
- Высоту: $f(x_i^*)$, где $x_i^*$ — точка выборки в $i$-м подотрезке
Сумма Римана равна:
$$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \cdot \Delta x$$
Когда $n \to \infty$, прямоугольники становятся бесконечно тонкими, и приближение становится точным.