Введение в теорию множеств и диаграммы Венна
Теория множеств — это математическое учение о совокупностях объектов. Она составляет основу современной математики и необходима для понимания теории вероятностей, логики и абстрактной алгебры.
1. Основные определения
Что такое множество?
Множество — это чётко определённая совокупность различных объектов, называемых элементами или членами. Множества обычно обозначаются заглавными буквами ($A$, $B$, $C$, ...), а их элементы записываются в фигурных скобках.
Обозначения
- $x \in A$ означает «$x$ является элементом $A$»
- $x \notin A$ означает «$x$ не является элементом $A$»
- $|A|$ или $n(A)$ обозначает мощность (количество элементов) множества $A$
- $\emptyset$ или $\{\}$ обозначает пустое множество
- $U$ или $\xi$ обозначает универсальное множество
Способы задания множества
$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$
$B = \{x \mid x \text{ — чётное натуральное число}, x \leq 10\}$
Читается: «множество всех $x$ таких, что $x$ — чётное натуральное число, не превышающее 10»
$B$ = множество чётных натуральных чисел до 10
Специальные множества
- $\mathbb{N}$ = Натуральные числа $\{1, 2, 3, ...\}$
- $\mathbb{Z}$ = Целые числа $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$
- $\mathbb{Q}$ = Рациональные числа
- $\mathbb{R}$ = Действительные числа
2. Подмножества и отношения между множествами
Подмножество ($\subseteq$)
Множество $A$ является подмножеством множества $B$, если каждый элемент $A$ также является элементом $B$:
$$A \subseteq B \iff (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B)$$
Собственное подмножество ($\subset$)
$A$ является собственным подмножеством $B$, если $A \subseteq B$ и $A \neq B$.
- $\emptyset \subseteq A$ для любого множества $A$
- $A \subseteq A$ для любого множества $A$
- Если $|A| = n$, то $A$ имеет $2^n$ подмножеств
Равные множества
Два множества равны тогда и только тогда, когда они содержат одни и те же элементы:
$$A = B \iff A \subseteq B \text{ и } B \subseteq A$$
Пусть $A = \{1, 2, 3\}$ и $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
Тогда $A \subset B$ (собственное подмножество)
$n(A) = 3$, значит $A$ имеет $2^3 = 8$ подмножеств:
$\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}$