Интегрирование по частям
Интегрирование по частям — один из самых мощных методов в математическом анализе для вычисления интегралов от произведений функций. По сути, этот метод «обращает» правило дифференцирования произведения.
🔑 Происхождение: из правила произведения
Вспомним правило дифференцирования произведения:
$$ \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx} $$
Теперь проинтегрируем обе части по $x$:
$$ u \cdot v = \int u \, dv + \int v \, du $$
Перегруппировав, получаем формулу интегрирования по частям:
$$ \boxed{\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du} $$
Эта формула преобразует сложный интеграл $\int u \, dv$ в (предположительно) более простой интеграл $\int v \, du$.
📋 Правило LIATE
Самое сложное — выбрать, что обозначить за $u$, а что за $dv$. Мнемоническое правило LIATE помогает выбрать $u$:
| Буква | Тип функции | Пример |
|---|---|---|
| L | Логарифмическая | $\ln x, \log x$ |
| I | Обратная тригонометрическая | $\arctan x, \arcsin x$ |
| A | Алгебраическая | $x^2, 3x, x^n$ |
| T | Тригонометрическая | $\sin x, \cos x$ |
| E | Показательная (экспоненциальная) | $e^x, 2^x$ |
Правило: Выбирайте в качестве $u$ функцию, которая стоит раньше в списке LIATE. Оставшийся множитель становится $dv$.
⚙️ Пошаговый алгоритм
- Определите, что подынтегральное выражение является произведением двух функций разного типа.
- Выберите $u$ по правилу LIATE — возьмите функцию, которая упрощается при дифференцировании.
- Обозначьте $dv$ — всё остальное (включая $dx$).
- Вычислите $du$, продифференцировав $u$.
- Вычислите $v$, проинтегрировав $dv$.
- Подставьте в формулу: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
- Вычислите оставшийся интеграл $\int v\,du$.