Выпуклость графика и точки перегиба
Главная идея: Вторая производная рассказывает нам о форме кривой — изгибается ли она вверх, как чаша, или вниз, как холм. Точки, в которых направление изгиба меняется, называются точками перегиба.
1. Выпуклость и вогнутость графика
Рассматривая график функции, мы можем наблюдать два типа кривизны:
🥣 Выпуклость вниз (вогнутая вверх)
График изгибается вверх, как внутренняя сторона чаши.
- Касательная проходит ниже кривой
- Наклон $f'(x)$ возрастает
- $f''(x) > 0$ на интервале
🏔️ Выпуклость вверх (вогнутая вниз)
График изгибается вниз, как вершина холма.
- Касательная проходит выше кривой
- Наклон $f'(x)$ убывает
- $f''(x) < 0$ на интервале
📐 Формальные определения
Определение 1: Функция $f$ является выпуклой вниз (вогнутой вверх) на интервале $I$, если для всех $x \in I$:
$$f''(x) > 0$$
Определение 2: Функция $f$ является выпуклой вверх (вогнутой вниз) на интервале $I$, если для всех $x \in I$:
$$f''(x) < 0$$