Производные высших порядков
Когда мы дифференцируем функцию один раз, мы получаем первую производную. Но что произойдёт, если продифференцировать ещё раз... и ещё раз... и ещё раз?
📐 Формальное определение
Если $f(x)$ — дифференцируемая функция, то её первая производная — это $f'(x)$. Если $f'(x)$ сама является дифференцируемой, то её производная называется второй производной функции $f$ и записывается как $f''(x)$. В общем случае производная $n$-го порядка получается путём дифференцирования $f(x)$ ровно $n$ раз.
$$ f(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} f'(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} f''(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} f'''(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} f^{(4)}(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} \cdots $$
✏️ Справочник обозначений
| Порядок | Лагранж | Лейбниц |
|---|---|---|
| 1-й | $f'(x)$ | $\frac{dy}{dx}$ |
| 2-й | $f''(x)$ | $\frac{d^2y}{dx^2}$ |
| 3-й | $f'''(x)$ | $\frac{d^3y}{dx^3}$ |
| $n$-й | $f^{(n)}(x)$ | $\frac{d^ny}{dx^n}$ |
🌍 Физическая интерпретация
Положение: $s(t)$
Где находится объект в момент времени $t$
Скорость: $v(t) = s'(t)$
Как быстро изменяется положение (1-я производная)
Ускорение: $a(t) = s''(t)$
Как быстро изменяется скорость (2-я производная)
Ключевая идея: Вторая производная $f''(x)$ говорит нам о выпуклости функции $f(x)$. Если $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз (улыбается 😊). Если $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх (грустит 😞).