Основное свойство первообразной
Что такое первообразная?
Первообразная функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$.
Например, $F(x) = x^3$ является первообразной функции $f(x) = 3x^2$, потому что $\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.
Но подождите — является ли $x^3$ единственной первообразной для $3x^2$? А как насчёт $x^3 + 5$? Или $x^3 - 17$?
$$\frac{d}{dx}(x^3 + 5) = 3x^2 \quad \checkmark$$
$$\frac{d}{dx}(x^3 - 17) = 3x^2 \quad \checkmark$$
Они все подходят! Это наблюдение приводит нас к самому фундаментальному свойству первообразных.
⭐ Основное свойство первообразной
Теорема (Основное свойство)
Если $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$ на промежутке $I$, то наиболее общая первообразная функции $f(x)$ на $I$ имеет вид:
$$F(x) + C$$
где $C$ — произвольная постоянная (называемая постоянной интегрирования).
Другими словами: Любые две первообразные одной и той же функции отличаются на постоянную.
Если $F(x)$ и $G(x)$ — обе первообразные функции $f(x)$, то:
$$G(x) - F(x) = C \quad \text{для некоторой постоянной } C$$