Первообразные элементарных функций
Главная идея
Если дифференцирование отвечает на вопрос «Какова скорость изменения?», то нахождение первообразной отвечает на обратный вопрос: «Какая функция имеет данную производную?» Нахождение первообразных — это основа интегрального исчисления.
Формальное определение
Функция $F(x)$ называется первообразной функции $f(x)$ на промежутке $I$, если:
$$F'(x) = f(x) \quad \text{для всех } x \in I$$
Общая первообразная (или неопределённый интеграл) функции $f(x)$ записывается как:
$$\int f(x)\, dx = F(x) + C$$
где $C$ — произвольная постоянная, называемая постоянной интегрирования.
Почему $+ C$? Если $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$, то $F(x) + C$ также является первообразной для любой постоянной $C$, поскольку производная постоянной равна нулю. Например, $x^2$, $x^2 + 5$ и $x^2 - 17$ — все являются первообразными функции $2x$.