Вычисление площадей с помощью интегралов
Главная идея: Интегрирование позволяет вычислять точную площадь областей, ограниченных кривыми — то, с чем не справляются обычные формулы геометрии. Это одно из самых мощных приложений математического анализа.
1. Основная концепция
Вспомним, что определённый интеграл функции $f(x)$ от $a$ до $b$ определяется как:
$$ \int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x $$
Геометрически, когда $f(x) \geq 0$ на $[a, b]$, этот интеграл даёт площадь под кривой $y = f(x)$, над осью $x$, между $x = a$ и $x = b$.