Интегрирование методом подстановки (u-подстановка)
Главная идея
Интегрирование методом подстановки — это обратная операция к правилу дифференцирования сложной функции (цепному правилу). Подобно тому, как цепное правило позволяет нам дифференцировать сложные функции, u-подстановка позволяет интегрировать сложные функции, упрощая их до знакомого вида.
Формальное определение
Если $g(x)$ — дифференцируемая функция, область значений которой содержится в области определения $f$, то:
$$ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du $$
где $u = g(x)$ и $du = g'(x) \, dx$.
По сути, мы определяем внутреннюю функцию $u = g(x)$, вычисляем её дифференциал $du = g'(x)\,dx$ и переписываем весь интеграл в терминах $u$.