Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Главная идея:
Многие явления реального мира — рост населения, остывание кофе, радиоактивный распад, падение тел — можно описать с помощью уравнений, содержащих неизвестную функцию и её производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. В этом уроке мы научимся переводить задачи из реальной жизни на язык дифференциальных уравнений.
1. Что такое дифференциальное уравнение?
Определение: Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, содержащее одну или несколько производных неизвестной функции.
Если неизвестная функция — $y(x)$ или $y(t)$, то дифференциальное уравнение связывает $y$, её производные $\frac{dy}{dx}$, $\frac{d^2y}{dx^2}$ и т. д., а также, возможно, независимую переменную $x$ (или $t$).
Примеры дифференциальных уравнений:
- $\frac{dy}{dx} = 3y$ (первого порядка)
- $\frac{dy}{dt} = -ky$ (экспоненциальный распад)
- $\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0$ (второго порядка, гармонические колебания)
- $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ (закон охлаждения Ньютона)
Порядок ДУ — это наивысший порядок производной, входящей в уравнение. Большинство задач в этом уроке приводят к ДУ первого порядка.