Распределения вероятностей и математическое ожидание
Понимание того, как распределены случайные исходы и чего мы можем «ожидать» в среднем, — одна из самых мощных идей в математике, находящая применение от страхования до разработки игр и квантовой физики.
1. Случайные величины
Определение: Случайная величина $X$ — это функция, которая присваивает числовое значение каждому исходу случайного эксперимента.
Существует два типа:
- Дискретная случайная величина: Принимает счётное число значений (например, количество орлов при 5 подбрасываниях монеты: $X \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$)
- Непрерывная случайная величина: Принимает любое значение из интервала (например, точный рост случайно выбранного ученика)
В этом уроке мы рассматриваем преимущественно дискретные распределения вероятностей.
2. Распределение вероятностей
Определение: Распределение вероятностей — это таблица, формула или график, описывающие вероятность каждого возможного значения случайной величины.
Для дискретной случайной величины $X$ со значениями $x_1, x_2, \ldots, x_n$ распределение вероятностей должно удовлетворять:
Правило 1: $0 \leq P(X = x_i) \leq 1$ для всех $i$
Правило 2: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} P(X = x_i) = 1$ (Сумма всех вероятностей равна 1)
Пример: Бросок правильного кубика
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
Проверка: $\frac{1}{6} \times 6 = 1$ ✓