Нормальное распределение и эмпирическое правило
Главная идея
Нормальное распределение — это самое важное распределение вероятностей в статистике. Оно описывает, как данные естественным образом группируются вокруг центрального значения, образуя знаменитую «колоколообразную кривую». Эмпирическое правило (также называемое правилом 68-95-99,7) точно показывает, как данные распределяются в любом нормальном распределении.
Формальное определение
Непрерывная случайная величина $X$ имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$, если её функция плотности вероятности (ФПВ) равна:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$$
Это записывается как $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
- $\mu$ (мю) — математическое ожидание, медиана и мода (центр кривой)
- $\sigma$ (сигма) — стандартное отклонение (определяет разброс)
- $e \approx 2{,}71828$ — число Эйлера
- $\pi \approx 3{,}14159$ — число пи
Основные свойства
- Симметрична относительно среднего $\mu$
- Колоколообразная — унимодальная кривая
- Среднее = Медиана = Мода = $\mu$
- Общая площадь под кривой = 1 (100%)
- Кривая никогда не касается оси x (асимптотическая)
- Точки перегиба находятся при $x = \mu \pm \sigma$
- Полностью определяется параметрами $\mu$ и $\sigma$