Распределения вероятностей и статистический вывод
Понимание того, как ведут себя данные и что они говорят нам о мире
Что такое распределение вероятностей?
Представьте себе это так: если бы вы могли повторить эксперимент миллионы раз, распределение вероятностей показало бы вам закономерность, которая проявляется — какие исходы встречаются часто, какие редко и как данные распределяются.
Два типа случайных величин
Принимают счётное количество значений (целые числа).
Примеры: Количество орлов при 10 подбрасываниях монеты, количество бракованных изделий в партии, результаты бросков кубика.
Описываются функцией вероятности (PMF):
$P(X = x)$ для каждого значения $x$
Ключевое свойство: $\displaystyle\sum_{\text{all } x} P(X = x) = 1$
Принимают любое значение на интервале (десятичные дроби, вещественные числа).
Примеры: Рост, вес, температура, время.
Описываются функцией плотности вероятности (PDF):
$f(x)$ где $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$
Ключевое свойство: $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$
Ключевые параметры: среднее, дисперсия и стандартное отклонение
Каждое распределение вероятностей характеризуется параметрами, описывающими его центр и разброс.
| Параметр | Формула для дискретного случая | Формула для непрерывного случая | Значение |
|---|---|---|---|
| Среднее (математическое ожидание) $\mu = E(X)$ | $\displaystyle\sum x \cdot P(X=x)$ | $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\,dx$ | «Центр» или среднее значение в долгосрочной перспективе |
| Дисперсия $\sigma^2 = \text{Var}(X)$ | $\displaystyle\sum (x - \mu)^2 \cdot P(X=x)$ | $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)\,dx$ | Среднее квадратичное отклонение от среднего |
| Стандартное отклонение $\sigma$ | $\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$ | Разброс в исходных единицах измерения | |