Случайные величины
Случайная величина — это мост между миром вероятностных экспериментов и миром чисел: она присваивает числовое значение каждому исходу случайного эксперимента.
Формальное определение
Случайная величина — это функция $X: S \to \mathbb{R}$, которая ставит в соответствие каждому исходу из пространства элементарных событий $S$ случайного эксперимента действительное число.
Случайные величины обычно обозначают заглавными буквами ($X$, $Y$, $Z$), а их конкретные значения — строчными буквами ($x$, $y$, $z$).
Дискретные случайные величины
Случайная величина является дискретной, если она может принимать счётное число различных значений (конечное или счётно бесконечное).
Примеры:
- Количество орлов при 10 подбрасываниях монеты: $X \in \{0, 1, 2, \ldots, 10\}$
- Количество покупателей, пришедших за час
- Количество бракованных изделий в партии
Функция вероятности (закон распределения):
$$P(X = x_i) = p_i$$
где $\sum_{i} p_i = 1$ и $0 \leq p_i \leq 1$ для всех $i$.
Непрерывные случайные величины
Случайная величина является непрерывной, если она может принимать любое значение из некоторого интервала (несчётное множество значений).
Примеры:
- Рост случайно выбранного ученика
- Время выполнения контрольной работы
- Температура воздуха завтра в полдень
Плотность распределения вероятностей:
$$P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\, dx$$
где $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1$ и $f(x) \geq 0$.