Дисперсия и стандартное отклонение
Понимание того, насколько данные разбросаны относительно среднего значения — основа статистического анализа.
Зачем нам нужны меры разброса?
Рассмотрим двух учеников, у которых средний балл за контрольные работы одинаков — 80%. Один получил оценки 78, 80, 82, 80, а другой — 50, 100, 70, 100. Их средние значения одинаковы, но данные рассказывают совершенно разные истории. Дисперсия и стандартное отклонение количественно описывают эту разницу — они измеряют, насколько далеко значения данных обычно находятся от среднего.
Дисперсия и стандартное отклонение генеральной совокупности
Когда у вас есть данные по всей генеральной совокупности (каждому члену группы):
Дисперсия генеральной совокупности:
$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N} $$
Стандартное отклонение генеральной совокупности:
$$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{N}} $$
- $ \mu $ = среднее генеральной совокупности
- $ N $ = размер генеральной совокупности
- $ x_i $ = каждое значение данных
Выборочная дисперсия и стандартное отклонение
Когда у вас есть данные из выборки (подмножества генеральной совокупности):
Выборочная дисперсия:
$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1} $$
Выборочное стандартное отклонение:
$$ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} $$
- $ \bar{x} $ = выборочное среднее
- $ n $ = размер выборки
- $ n - 1 $ = число степеней свободы (поправка Бесселя)