Арифметическая и Геометрическая Прогрессии
Подготовка к ИГА (9 класс) — Задание №14
📐 Часть 1: Арифметическая прогрессия (АП)
Определение
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$, которое называется разностью прогрессии.
$$a_{n+1} = a_n + d$$
✅ Примеры АП:
- $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ ($d = 3$)
- $10, 7, 4, 1, -2, \ldots$ ($d = -3$)
- $23, 23, 23, 23, \ldots$ ($d = 0$ — стационарная)
⚠️ Важно помнить:
- Разность $d$ может быть положительной, отрицательной или нулевой
- Постоянная последовательность ($d=0$) — тоже АП!
- $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots$
Основные формулы АП
| Формула | Запись | Описание |
|---|---|---|
| n-й член | $$a_n = a_1 + d(n - 1)$$ | Находим любой член по номеру $n$, первому члену $a_1$ и разности $d$ |
| Сумма первых n членов | $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$ | Или эквивалентно: $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ |
| Свойство среднего | $$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$$ | Каждый член равен среднему арифметическому соседних |
Интерактивный график: Арифметическая прогрессия
Перемещайте ползунки, чтобы изменить $a_1$ и $d$, и наблюдайте, как меняется прогрессия:
Interactive visualization — available in the full lesson
📈 Часть 2: Геометрическая прогрессия (ГП)
Определение
Геометрическая прогрессия — это последовательность $(b_n)$, в которой каждый последующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число $q$, называемое знаменателем прогрессии.
$$b_{n+1} = b_n \cdot q, \quad q \neq 0$$
✅ Примеры ГП:
- $3, 6, 12, 24, 48, \ldots$ ($q = 2$)
- $100, 10, 1, 0.1, \ldots$ ($q = 0.1$)
- $1, -2, 4, -8, 16, \ldots$ ($q = -2$, знакочередующаяся)
⚠️ Частые ошибки:
- Путают $d$ (разность АП) с $q$ (знаменатель ГП)
- Ошибка в показателе: пишут $q^n$ вместо $q^{n-1}$
- Забывают, что $q$ может быть отрицательным
Основные формулы ГП
| Формула | Запись | Описание |
|---|---|---|
| n-й член | $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$ | Находим любой член по $b_1$, $q$ и номеру $n$ |
| Сумма первых n членов | $$S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad q \neq 1$$ | Если $q = 1$, то $S_n = n \cdot b_1$ |
| Свойство среднего | $$b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}$$ | Квадрат члена = произведение соседних |
| Сумма бесконечной ГП | $$S_{\infty} = \frac{b_1}{1 - q}, \quad |q| < 1$$ | Только при $|q| < 1$ ряд сходится |
Интерактивный график: Геометрическая прогрессия
Измените $b_1$ и $q$, чтобы увидеть экспоненциальный рост или убывание:
Interactive visualization — available in the full lesson