Неравенства второй степени с одной переменной
Поиск наибольшего и наименьшего целого решения (ИГА, 9 класс)
📌 Определение
Неравенство второй степени с одной переменной — это неравенство вида:
$$ ax^2 + bx + c \;\; (\lt,\; \gt,\; \leq,\; \geq) \;\; 0 $$
где $a$, $b$, $c$ — числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$.
Знаки неравенства:
- Строгие: $\lt$ и $\gt$ — граничные точки НЕ входят в ответ (выколотые точки, круглые скобки)
- Нестрогие: $\leq$ и $\geq$ — граничные точки ВХОДЯТ в ответ (закрашенные точки, квадратные скобки)
🔧 Алгоритм решения квадратного неравенства
- Шаг 1. Перенесите все члены в левую часть, чтобы справа остался $0$.
- Шаг 2. Убедитесь, что коэффициент при $x^2$ положительный ($a > 0$). Если $a < 0$, умножьте обе части на $(-1)$ и смените знак неравенства!
- Шаг 3. Найдите дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
- Шаг 4. Найдите корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (если $D \geq 0$).
- Шаг 5. Отметьте корни на числовой оси и определите знаки на интервалах.
- Шаг 6. Выберите нужные интервалы в зависимости от знака неравенства.
Формулы корней:
$$ D = b^2 - 4ac $$
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$
Правило выбора интервалов
(при $a > 0$):
| $ax^2+bx+c > 0$ | $x \in (-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$ |
| $ax^2+bx+c < 0$ | $x \in (x_1;\; x_2)$ |