Система линейных уравнений с двумя переменными
Подготовка к ИГА (задание №9) — 9 класс
📘 Основные определения
Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида:
$$ax + by = c$$
где $a$, $b$, $c$ — числа (коэффициенты), а $x$, $y$ — переменные.
Система линейных уравнений — это два (или более) линейных уравнения, которые должны выполняться одновременно. Записывается с фигурной скобкой:
$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$
Решение системы — это пара значений $(x;\, y)$, которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все такие пары или доказать, что их нет.
📊 Классификация систем
Графиком каждого линейного уравнения с двумя переменными является прямая. Поэтому решение системы — это координаты точки пересечения двух прямых.
| Тип системы | Количество решений | Расположение прямых | Условие |
|---|---|---|---|
| Совместная определённая | Одно решение | Прямые пересекаются | $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ |
| Совместная неопределённая | Бесконечно много | Прямые совпадают | $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ |
| Несовместная | Нет решений | Прямые параллельны | $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ |
Графическая иллюстрация трёх случаев
Interactive visualization — available in the full lesson
Синяя и розовая прямые пересекаются в точке $(-1;\,1)$ — одно решение. Оранжевая и фиолетовая прямые параллельны — решений нет.