Числовые последовательности
Подготовка к ИГА (9 класс) — Алгебра
📖 1. Что такое числовая последовательность?
Определение: Числовая последовательность — это функция натурального аргумента $y = f(n)$, где $n \in \mathbb{N}$, записываемая как $y_1, y_2, y_3, \ldots$
Числа, образующие последовательность, называются её первым, вторым, третьим, …, n-м членами.
Конечная последовательность
Имеет ограниченное число членов.
Пример: Нечётные двузначные числа: $11, 13, 15, \ldots, 99$
Бесконечная последовательность
Продолжается без конца.
Пример: Натуральные числа: $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$
Монотонные последовательности:
- Возрастающая: каждый следующий член больше предыдущего: $a_{n+1} > a_n$
- Убывающая: каждый следующий член меньше предыдущего: $a_{n+1} < a_n$
📐 2. Способы задания последовательности
🔢 Аналитический (формулой)
Задаётся формула $n$-го члена:
- $a_n = 2n$ → $2, 4, 6, 8, \ldots$
- $a_n = 2n + 1$ → $3, 5, 7, 9, \ldots$
- $a_n = n^2$ → $1, 4, 9, 16, \ldots$
💬 Словесный
Описание правила словами:
«Последовательность простых чисел»:
$2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$
Не всегда удобен, но иногда — единственный способ.
🔄 Рекуррентный
Каждый член вычисляется через предыдущий:
Фибоначчи:
$a_1 = 1,\; a_2 = 1$
$a_{n+1} = a_n + a_{n-1}$
$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$