📈 Экспоненциальный рост и убывание
Математика SAT — Полное руководство
1. Экспоненциальная vs. линейная зависимость — ключевое различие на SAT
📏 Линейный рост
- Постоянная ВЕЛИЧИНА прибавляется или вычитается за каждый период
- Формула: y = mx + b
- «Прибавляется 50 каждый год» → линейная
- «Постоянная скорость 5 в час» → линейная
- В таблицах: постоянная РАЗНОСТЬ между последовательными значениями
📈 Экспоненциальный рост/убывание
- Постоянный ПРОЦЕНТ (отношение) умножается за каждый период
- Формула: A = A₀ · bᵗ
- «Увеличивается на 50% каждый год» → экспоненциальная
- «Удваивается каждые 3 часа» → экспоненциальная
- В таблицах: постоянное ОТНОШЕНИЕ между последовательными значениями
⚠️ ЛОВУШКА SAT — Читайте внимательно!
- «увеличивается НА 50» → линейная (прибавление фиксированной величины)
- «увеличивается НА 50%» → экспоненциальная (умножение на коэффициент)
- «увеличивается ДО 150%» → экспоненциальная
Линейная vs. экспоненциальная: визуальное сравнение
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Как распознать по таблице
| t | Линейная y | Разность |
|---|---|---|
| 0 | 100 | — |
| 1 | 120 | +20 |
| 2 | 140 | +20 |
| 3 | 160 | +20 |
Постоянная разность → Линейная ✓
| t | Экспоненциальная y | Отношение |
|---|---|---|
| 0 | 100 | — |
| 1 | 120 | 1,2 |
| 2 | 144 | 1,2 |
| 3 | 172,8 | 1,2 |
Постоянное отношение → Экспоненциальная ✓
2. Общая экспоненциальная формула
A = A₀ · bᵗ
A
Значение в момент времени t
Значение в момент времени t
A₀
Начальное значение (при t = 0)
Начальное значение (при t = 0)
b
Коэффициент роста/убывания
Коэффициент роста/убывания
t
Время (количество периодов)
Время (количество периодов)
📈 Форма роста (b > 1)
A = A₀(1 + r)ᵗ
- r = темп роста в виде десятичной дроби (r > 0)
- (1 + r) = коэффициент роста
- Рост 5% → r = 0,05, коэффициент = 1,05
- «Увеличивается на 5%» означает умножение на 1,05
📉 Форма убывания (0 < b < 1)
A = A₀(1 − r)ᵗ
- r = темп убывания в виде десятичной дроби (0 < r < 1)
- (1 − r) = коэффициент убывания
- Убывание 15% → r = 0,15, коэффициент = 0,85
- «Уменьшается на 15%» означает умножение на 0,85