Неопределённые функции: Полное руководство для SAT
Освойте все случаи, когда функция становится неопределённой — важнейший навык для математической части SAT
1. Введение: Определённые и неопределённые функции
Функция $f(x)$ определена при $x = a$, если $f(a)$ даёт действительное число. Функция не определена при $x = a$, если $f(a)$ не даёт действительного числа.
✅ Определена
$f(x) = \frac{1}{x-3}$ при $x = 5$:
$f(5) = \frac{1}{5-3} = \frac{1}{2}$ — действительное число ✓
❌ Не определена
$f(x) = \frac{1}{x-3}$ при $x = 3$:
$f(3) = \frac{1}{3-3} = \frac{1}{0}$ — деление на ноль ✗
Почему функции становятся неопределёнными?
Некоторые математические операции имеют встроенные ограничения:
| Операция | Не определена, когда | Причина |
|---|---|---|
| $\frac{a}{b}$ | $b = 0$ | Деление на ноль невозможно |
| $\sqrt{a}$ (чётный корень) | $a < 0$ | Нет действительного квадратного корня из отрицательного числа |
| $\frac{1}{\sqrt{a}}$ | $a \leq 0$ | Отрицательное число под корнем ИЛИ ноль в знаменателе |
| $\log(a)$ или $\ln(a)$ | $a \leq 0$ | Логарифм нуля или отрицательного числа не определён |
2. Деление на ноль
Почему $\frac{a}{0}$ не определено?
Если $\frac{5}{0} = ?$, тогда $? \times 0 = 5$. Но любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а не 5. Поэтому ответа не существует. Это не бесконечность, не ноль — это просто не определено.
🔑 Ключевое правило: Нахождение неопределённых значений в дробях
Приравняйте знаменатель к нулю → Решите уравнение для $x$ → Эти значения $x$ делают функцию неопределённой.
Пошаговый разбор примеров
Пример А: $f(x) = \frac{1}{x - 3}$
Шаг 1: Приравняем знаменатель к 0:
$x - 3 = 0$
Шаг 2: Решаем:
$x = 3$
Результат: $f(x)$ не определена при $x = 3$
Пример Б: $f(x) = \frac{5}{2x + 8}$
Шаг 1: Приравняем знаменатель к 0:
$2x + 8 = 0$
Шаг 2: Решаем:
$2x = -8 \Rightarrow x = -4$
Результат: Не определена при $x = -4$
Разложенные на множители знаменатели
$f(x) = \frac{x+1}{x^2 - 9}$
Разложим: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
Приравняем каждый множитель к 0:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
Не определена при $x = 3$ и $x = -3$
$f(x) = \frac{x-2}{x^2 - 5x + 6}$
Разложим: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$
Приравняем каждый множитель к 0:
$x = 2$ или $x = 3$
Не определена при $x = 2$ И $x = 3$
⚠️ Даже если $x = 2$ сокращается с числителем, исходная функция всё равно не определена в этой точке!
⚠️ Важная ловушка SAT: Числитель не имеет значения!
Рассмотрим $f(x) = \frac{x-2}{x-2}$. При $x = 2$: $f(2) = \frac{0}{0}$, что является неопределённостью (особый тип неопределённого выражения). Хотя это «упрощается» до 1, исходная функция не определена при $x = 2$. На графике в точке $x = 2$ находится выколотая точка.