Уравнения и неравенства с модулем
Математика SAT — Полное руководство
Алгебра
Основная тема SAT
Часто встречается
1 Что такое модуль числа?
1.1 Основная идея — расстояние от нуля
Модуль (абсолютная величина) числа $x$, записываемый как $|x|$, — это расстояние между $x$ и $0$ на числовой прямой. Поскольку расстояние никогда не бывает отрицательным, модуль всегда неотрицателен:
$$|x| \ge 0 \quad \text{for every real number } x$$
Обозначение: Мы используем вертикальные черты вокруг выражения: $|x|$, $|2x-3|$, $|a-b|$.
1.2 Геометрический смысл
- $|x|$ = расстояние от $x$ до $0$.
- $|a - b|$ = расстояние между $a$ и $b$ на числовой прямой.
1.3 Почему модуль важен
Модуль измеряет величину независимо от знака. Он встречается в:
- Расстояние — насколько далеко друг от друга два значения
- Погрешность / Допуск — насколько измерение отклоняется от целевого значения
- Отклонение — насколько точка данных отклоняется от среднего
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Перетащите красную точку по числовой прямой. Синий пунктирный отрезок показывает расстояние от 0 — это и есть $|x|$.
2 Формальное определение
$$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \ge 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$$
Словами: Если $x$ равен нулю или положителен, модуль оставляет его без изменений. Если $x$ отрицателен, модуль меняет знак (умножает на $-1$), делая число положительным.
$|5| = 5$
5 положительно → оставляем
$|-7| = 7$
$-7$ отрицательно → $-(-7)=7$
$|0| = 0$
0 — ни то ни другое → $|0|=0$
Важное замечание: «$-x$» в определении не означает «отрицательное число». Это означает «число, противоположное $x$». Если $x = -3$, то $-x = -(-3) = 3$, что является положительным числом.