🔵 Окружности: Площадь и Длина окружности
Полное руководство по математике SAT — Все формулы, стратегии и типы задач
Математика SAT
Геометрия
Важная тема
Часть 1 — Что такое окружность?
Определение
Окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки, называемой центром.
| Термин | Обозначение | Значение |
|---|---|---|
| Центр | $(h,k)$ | Фиксированная точка; каждая точка окружности равноудалена от неё |
| Радиус | $r$ | Расстояние от центра до любой точки на окружности |
| Диаметр | $d$ | Расстояние через центр окружности — самая длинная хорда |
| Длина окружности | $C$ | Расстояние вокруг окружности (её периметр) |
| Площадь | $A$ | Мера области, ограниченной окружностью |
Ключевое соотношение: $d = 2r$ ⟹ $r = \dfrac{d}{2}$
Что такое π (Пи)?
$\pi$ — это отношение длины любой окружности к её диаметру:
$$\pi = \frac{C}{d} \approx 3.14159\ldots$$Это иррациональное число — его десятичная запись никогда не заканчивается и не повторяется.
- Распространённые приближения: $\pi \approx 3.14$ или $\pi \approx \frac{22}{7}$
- Совет для SAT: Большинство ответов оставляют в виде выражения с $\pi$ (например, $25\pi$).
Интерактивная диаграмма окружности
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Зелёный = Радиус
Оранжевый = Диаметр
Фиолетовый = Длина окружности
Часть 2 — Длина окружности (Периметр круга)
$$\boxed{C = 2\pi r = \pi d}$$
Поскольку $d = 2r$, обе формулы эквивалентны: $C = \pi d = \pi(2r) = 2\pi r$.
Длина окружности — линейная величина — измеряется в единицах длины (см, м, футы и т.д.).
Быстрые примеры
| Дано | Решение | Точное $C$ | Приблиз. $C$ |
|---|---|---|---|
| $r = 5$ | $2\pi(5)$ | $10\pi$ | $\approx 31.42$ |
| $r = 7$ | $2\pi(7)$ | $14\pi$ | $\approx 43.98$ |
| $r = 3$ | $2\pi(3)$ | $6\pi$ | $\approx 18.85$ |
| $d = 10$ | $\pi(10)$ | $10\pi$ | $\approx 31.42$ |
| $d = 14$ | $\pi(14)$ | $14\pi$ | $\approx 43.98$ |
| $d = 8$ | $\pi(8)$ | $8\pi$ | $\approx 25.13$ |
Нахождение радиуса или диаметра ПО длине окружности
$$r = \frac{C}{2\pi} \qquad d = \frac{C}{\pi}$$
| Дано $C$ | Найти | Решение | Ответ |
|---|---|---|---|
| $20\pi$ | $r$ | $\frac{20\pi}{2\pi}$ | $r = 10$ |
| $18\pi$ | $d$ | $\frac{18\pi}{\pi}$ | $d = 18$ |
| $12\pi$ | $r$ | $\frac{12\pi}{2\pi}$ | $r = 6$ |
| $50$ | $r$ | $\frac{50}{2\pi}$ | $r = \frac{25}{\pi} \approx 7.96$ |
| $31.4$ | $d$ | $\frac{31.4}{3.14}$ | $d \approx 10$ |
⚠️ Ловушка SAT: Если в задаче дан диаметр, не подставляйте его в $C = 2\pi r$ без деления на 2! Всегда определяйте, что вам дано — $r$ или $d$.